2016年考研数学二(2016年考研数学二参考)

2016年考研数学二，2016年考研数学二真题

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绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在

条形码区域内。

2．选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 1 2i1 2i

A． 4 3 i5 5

B．4 3

i5 5

C．3 4

i5 5

D．3 4

i5 5

2．已知集合 2 2{( , ) | 3, ,A x y x y x yZ Z} ，则 A中元素的个数为

A．9 B．8 C．5 D．4

3．函数 2e e( )

x x

f xx

的图象大致为

4．已知向量 a， b满足 | | 1a ， 1a b ，则 (2 )a a b

A．4 B．3 C．2 D．0

5．双曲线2 2

2 2 1( 0, 0)x y a ba b

的离心率为 3，则其渐近线方程为

A． 2y x B． 3y x C． 22

y x D． 32

y x

6．在 ABC△ 中， 5cos2 5C

， 1BC ， 5AC ，则 AB

A． 4 2 B． 30 C． 29 D． 2 5

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7．为计算 1 1 1 1 112 3 4 99 100

S ，设计了右侧的层

序框图，则在空白框中应填入

A． 1i iB． 2i iC． 3i iD． 4i i

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果． 哥德巴赫猜想是"每

个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和"，如 30 7 23．在不超过 30的素数中，随

机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是

A． 112

B． 114

C． 115

D． 118

9．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1AB BC ， 1 3AA ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角

的余弦值为

A． 15

B． 56

C． 55

D． 22

10．若 ( ) cos sinf x x x在 [ , ]a a 是减函数，则 a的最大值是

A． π4

B． π2

C． 3π4

D． π

11．已知 ( )f x 是定义域为 ( , )的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x ．若 (1) 2f ，

则 (1) (2) (3) (50)f f f fA． 50 B．0 C．2 D．50

12．已知 1F ， 2F 是椭圆2 2

2 2 1( 0)x y

C a ba b： 的左，右焦点， A是 C 的左顶点，点 P在

过 A且斜率为 36的直线上， 1 2PF F△ 为等腰三角形， 1 2 120F F P ，则 C 的离心率为

A． 23

B． 12

C． 13

D． 14

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。13．曲线 2ln( 1)y x 在点 (0, 0) 处的切线方程为 __________．

14．若 ,x y满足约束条件2 5 0,2 3 0,5 0,

x yx yx

≥

≥

≤

则 z x y的最大值为 __________．

15．已知 sin cos 1α β ， cos sin 0α β ，则 sin( )α β __________．

开始

0, 0N T

S N T

S输出

1i

100i

1N Ni

11

T Ti

结束

是 否

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16．已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB所成角的余弦值为 78，SA与圆锥底面所成角为 45°，

若 SAB△ 的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为 __________．

三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60分。

17．（12 分）

记 nS 为等差数列 { }na 的前 n项和，已知 1 7a ， 3 15S ．

（1）求 { }na 的通项公式；

（2）求 nS ，并求 nS 的最小值．

18．（12 分）

下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额， 建立了 y与时间变量 t 的两个线性回归

模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ,17 ）建立模型①：

? 30.4 13.5y t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2, , 7）建立模

型②： ? 99 17.5y t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12 分）

设抛物线 2 4C y x： 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)k k 的直线 l 与 C交于 A，B两点，

| | 8AB ．

（1）求 l 的方程；

（2）求过点 A， B且与 C 的准线相切的圆的方程．

20．（12 分）

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如图，在三棱锥 P ABC 中， 2 2AB BC ，

4PA PB PC AC ， O为 AC 的中点．

（1）证明： PO 平面 ABC ；

（2）热点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C位 30 ，

秋 PC与平面 PAM 所成角的正弦值．

21．（12 分）

已知函数 2( ) exf x ax ．

（1）若 1a ，证明：当 0x≥ 时， ( ) 1f x ≥ ；

（2）若 ( )f x 在 (0, )只有一个零点，求 a．

（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22． [选修 4－4：坐标系与参数方程 ] （10 分）

在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为2cos ,4sin ,

x θy θ

（θ为参数），直线 l 的参数方

程为1 cos ,2 sin ,

x t αy t α

（ t 为参数）．

（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；

（2）若曲线 C截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2)，求 l 的斜率．

23． [选修 4－5：不等式选讲 ]（ 10分）

设函数 ( ) 5 | | | 2|f x x a x ．

（1）当 1a 时，求不等式 ( ) 0f x ≥ 的解集；

（2）若 ( ) 1f x ≤ ，求 a的取值范围．

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题

P

AO

C

BM

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1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A

7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D

二、填空题

13． 2y x 14．9 15． 12

16． 40 2π

三、解答题

17．解：

（1）设 { }na 的公差为 d，由题意得 13 3 15a d ．

由 1 7a 得 d=2．

所以 { }na 的通项公式为 2 9na n ．

（2）由（ 1）得 2 28 ( 4) 16nS n n n ．

所以当 n=4时， nS 取得最小值，最小值为 – 16．

18．解：

（1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为

? 30.4 13.5 19 226.1y (亿元 )．

利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为

? 99 17.5 9 256.5y (亿元 )．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出， 2000 年至 2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

30.4 13.5y t上下．这说明利用 2000 年至 2016年的数据建立的线性模型①不能很好地

描述环境基础设施投资额的变化趋势． 2010年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增

加， 2010年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010年开始环境基

础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型

? 99 17.5y t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势， 因此利用模

型②得到的预测值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于 2016年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到

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